Явные численно реализуемые формулы для операторов Пуанкаре–Стеклова

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Доступ платный или только для подписчиков

Аннотация

Представлены явные численно реализуемые формулы для операторов Пуанкаре–Стеклова, таких как операторы Дирихле–Неймана, Дирихле–Робена, Робена1–Робена2, Гринберга–Майергойза, относящихся к двумерному уравнению Лапласа. Эти формулы базируются на лемме об однолистном изометрическом отображении замкнутой аналитической кривой на окружность. Численные результаты для областей с весьма сложной геометрией получены для нескольких тестовых гармонических функций для операторов Дирихле–Неймана и Дирихле–Робена. Библ. 9. Фиг. 9.

Полный текст

Доступ закрыт

Об авторах

А. С. Демидов

МГУ им. М. В. Ломоносова

Автор, ответственный за переписку.
Email: demidov.alexandre@gmail.com
Россия, 119991 Москва, Ленинские горы, 1

А. С. Самохин

Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова Российской академии наук

Email: demidov.alexandre@gmail.com
Россия, 117997 Москва, ул. Профсоюзная, 65

Список литературы

  1. Schwarz H. A. Uber einige Abbildungsaufgaben // Ges. Math. 1869. Abh. II. P. 65.
  2. Агошков В. И. Новая методика формулировки алгоритмов разделения области // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2020. T. 60. № 3. C. 351.
  3. Гринберг Г. А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений. M.: Изд. АН СССР. 1948.
  4. Маергойз И. Д. О численном решении краевых задач теории потенциала методом интегральных уравнений // Сиб. матем. журн. 1971. T. 12. № 6. C. 1318.
  5. Khoromskij B. N., Wittum G. Elliptic Poincaré–Steklov Operators. Springer. Berlin. Heidelberg. Lecture Notes Comput. Science and Engng. 2004. V. 36. P. 63–81.
  6. Новиков Р. Г., Тайманов И. А. Преобразования Дарбу–Мутара и операторы Пуанкаре–Стеклова // Труды МИАН. 2018. T. 302. P. 334.
  7. Лебедев В. И., Агошков В. И. Операторы Пуанкаре–Стеклова и их приложения в анализе. М.: Отдел вычислительной математики АН СССР. 1983. 184 c.
  8. Poincaré H. La méthode de Neumann et le problème de Dirichlet // Acta Math. V. XX. 59.
  9. Stekloff W. Les méthodes générales pour résoudre les problèmes fondamentaux de la physique mathématique // Ann. fac. sci. Toulouse. Sér. 1900. V. 2. N 2. P. 207.
  10. Арнольд В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. M.: МЦНМО. 2012.
  11. Демидов А. С. Полная асимптотика решения задачи Дирихле для 2-мерного уравнения Лапласа с быстро осциллирующими граничными данными // Докл. АН. 1996. T. 346. № 6. C. 732.
  12. Демидов А. С. Функционально-геометрический метод решения задач со свободной границей для гармонических функций // Успехи матем. наук. 2010. T. 65. № 1. C. 3.
  13. Демидов А. С. О численно реализуемых явных формулах для решений двумерных и трехмерных уравнений с данными Коши на аналитической границе // Функц. анализ и его прил. 2021. Т. 55. № 1. С. 65.
  14. Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н. Приближенное решение задачи Дирихле // Докл. АН СССР. 1929. № 12. 283.
  15. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. М.: Физмат. гиз., 1962.
  16. Власов В. К., Бакушинский А. Б. Метод потенциалов и численное решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1963. T. 3. № 3. С. 574.
  17. Zhou Y., Cai W. Numerical Solution of the Robin Problem of Laplace Equations with a Feynman–Kac Formula and Reflecting Brownian Motions // J. Scientific Comput. 2016 T. 69. № 1. 107. https://doi.org/10.1007/s10915-016-0184-y

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать
2. Фиг. 1. Пример 1 двух кривых G и g в случае конечного ряда Фурье. На кривой g точкой отмечено значение z(z) при z = r, полученное интегрированием (9) от P0 до r.

Скачать (85KB)
Метаданные
3. Фиг. 2. Пример 2 двух кривых G и g в случае конечного ряда Фурье. На кривой g точкой отмечено значение z(z) при z = r, полученное интегрированием (9) от P0 до r.

Скачать (80KB)
Метаданные
4. Фиг. 3. Ответ — производная по нормали v на границе G из примера 1.

Скачать (61KB)
Метаданные
5. Фиг. 4. Ответ — производная по нормали v на границе G из примера 2.

Скачать (58KB)
Метаданные
6. Фиг. 5. Пример 3 двух кривых G и g для r = 0.99 в случае аналитически заданной области. Количество точек разбиения отрезка [0,2p] при дискретизации N = 8000. В разложении G в ряд Фурье используются первые 150 членов.

Скачать (89KB)
Метаданные
7. Фиг. 6. Ответ — производная по нормали v на границе G для примера 3 в случае функции x2 – y2.

Скачать (68KB)
Метаданные
8. Фиг. 7. Ответ — производная по нормали v на границе G для примера 3 в случае функции cosh(x) ⋅ sin(y).

Скачать (60KB)
Метаданные
9. Фиг. 8. График погрешности — разности производной по нормали на границе для примера 3 в случае функции cosh(x) ⋅ sin(y), найденной численно и точного аналитического решения

Скачать (66KB)
Метаданные
10. Фиг. 9. Пример 4 кривых G и g с особенностью в виде аппендикса.

Скачать (98KB)
Метаданные

© Российская академия наук, 2024