Прикладная математика и механика

Исследована задача о поступательно-вращательных движениях симметричной гантели малой массы в обобщенной эллиптической задаче Ситникова. Получены уравнения движения гантели. Доказано существование интегрального многообразия “гравитационный пропеллер”, на котором центр масс гантели перемещается вдоль нормали Cς к плоскости орбитального движения основных тел, а сама гантель вращается вокруг этой нормали, образуя с ней постоянный угол π/2. Получена система неавтономных уравнений движения на этом многообразии. Составлено уравнение плоских колебаний гантели, когда центр масс гантели совпадает с центром масс основных тел. Показано, что это уравнение совпадает с уравнением Белецкого, если гантель имеет бесконечно малую длину. Исследуются малые колебания при любых длинах гантели путем введения двух малых параметров: e (эксцентриситет орбиты относительного движения основных тел) и ɛ (мера отклонения фазовой точки от начала координат). Получены области сингулярных и регулярных колебаний, описаны разные типы уравнений в регулярной области и соответствующие им колебания. Описан эффект резкого возрастания частоты колебаний гантели и стремлении ее к бесконечности при увеличении длины гантели до размеров большой оси эллиптического движения основных тел.

Сформулирована осесимметричная задача определения верхней (кинематической) границы несущей способности сферических пологих оболочек кольцевой в плане формы, внутренние отверстия которых закрыты жесткими вставками. Такие составные конструкции контактируют с несжимаемой жидкостью. Оболочки армированы волокнами по спиральным траекториям, симметричным относительно меридиана, а также по меридиональным и (или) окружным направлениям. Материалы компонентов композиции предполагаются жесткопластическими и имеющими разные пределы текучести при растяжении и сжатии. Пластическое течение в фазах композиции определяется кусочно-линейными условиями текучести. Использована двуслойная модель тонкостенной конструкции, кинематика которой в предельном состоянии описывается соотношениями классической теории пологих оболочек. Экстремальная задача вычисления предельной нагрузки поставлена на основе применения принципа виртуальной мощности. Проведена нетрадиционная дискретизация этой задачи, решение которой получено с использованием методов теории линейного программирования. Протестирована сходимость численного решения и проведено сравнение с точными решениями аналогичных задач для однородных изотропных пластин. Продемонстрирована хорошая точность численного решения. Исследовано влияние параметров структуры армирования, величины стрелы подъема пологой оболочки и граничных условий на значение предельной нагрузки. Показано, что для кольцевых пластин наилучшей является укладка волокон в радиальном направлении, а для пологих оболочек рациональной является меридионально-окружная структура со специально подобранными плотностями армирования. Продемонстрировано, что с увеличением стрелы подъема пологой оболочки ее несущая способность более чем вдвое возрастает по сравнению с пластиной той же геометрии в плане и той же толщины.

Построена асимптотика частот и мод собственных колебаний составного анизотропного тела с группой мелких включений, масса каждого из которых превосходит или сравнима по порядку с массой окружающего материала. Если часть поверхности тела жестко защемлена, то моды собственных колебаний в главном локализуются около включений, а старшие члены асимптотик собственных частот описываются спектром задач о включениях единичных плотности и размера в невесомом пространстве. В случае поверхности тела, свободной от внешних воздействий, возникает взаимодействие удаленных мелких тяжелых включений: предельной задачей служит совокупность систем уравнений для включений в пространстве, объединенных в единую спектральную задачу интегральными членами при спектральном параметре. Строение интегро-дифференциальных уравнений зависит как от показателя концентрации масс, так и от взаимного расположение включений. Обоснование полученных асимптотических разложений проведено в наиболее сложном случае сверхтяжелых концентрированных масс при расположении центров нескольких включений на одной прямой – остальные ситуации обрабатываются по той же схеме.

Исследование посвящено проблеме применения метода переменных параметров упругости, в котором используются положения деформационной теории пластичности, к решению задач об автофретировании толстостенных цилиндрических оболочек, нагруженных внутренним давлением. В работе рассмотрены два случая автофретирования цилиндрических оболочек: с продольным растяжением и без продольного растяжения. При определении напряженно-деформированного состояния материал оболочки считался несжимаемым, и для описания диаграммы деформирования материала использовались зависимости в виде степенной и линейно-степенной функций. Анализ процесса нагружения проводился с помощью исследования траекторий нагружения различных точек стенки оболочки в пространстве напряжений Ильюшина и параметра Надаи–Лоде для напряжений. Как показали исследования, в случае автофретирования с продольным растяжением, а также при нагружении оболочки внутренним давлением вплоть до разрушения нагружение является простым для всех функций, описывающих диаграмму деформирования, что доказывает правомерность решения таких задач методом переменных параметров упругости. При автофретировании оболочки без продольного растяжения при использовании степенной аппроксимации диаграммы деформирования процесс нагружения вплоть до разрушения можно считать простым, что соответствует теореме Ильюшина о простом нагружении. При линейно-степенной аппроксимации диаграммы деформирования процесс нагружения оболочки не является простым, но сравнительный анализ напряженного состояния, полученного при степенной и линейно-степенной аппроксимациях диаграммы деформирования, показал незначительное различие на всех этапах нагружения. Причем эти различия уменьшаются с увеличением давления, что позволяет сделать вывод о возможности применения метода переменных параметров упругости к решению задач об автофретировании цилиндрических оболочек без продольного растяжения, а также о нагруженнии внутренним давлением таких оболочек вплоть до разрушения.

Построено точное решение краевой задачи теории упругости для упругой полуплоскости с одномерным полубесконечным ребром жесткости, перпендикулярным к ее прямолинейной границе. В вершине ребра приложена сосредоточенная сила. Это решение сравнивается с численным в трехмерной постановке для сваи конечной длины, полученным на основе метода конечных элементов. Переход в аналитическом решении от двумерной задачи к трехмерной осуществляется введением некоторых поправочных коэффициентов.